幾何学概論-設題-1

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資料紹介

1. 集合 X の2つの部分集合族{Aλ:λ∈N},{Bμ:μ∈M}について

(∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M})

=∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}を証明せよ。

 <x,y> ∈(∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M}) ⇔

 

 x∈∩{Aλ:λ∈Λ} かつ y ∈∩{Bμ:μ∈Μ} ⇔

 ∀λ∈Λ に対してx∈Aλ かつ ∀μ∈Μ に対して y ∈Bμ ⇔

 ∀λ∈Λ ∀μ∈Μ ( x∈Aλ andy ∈Bμ ) ⇔

 ∀<λ,μ> ∈ Λ×Μ ( (x,y) ∈Aλ×Bμ ) ⇔

<x,y> ∈ ∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}

  ∴   (∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M})

     =∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}

2. fを集合XからYへの全射とする。

 

Xの任意の2つの元x1,x2についてX1~X2をf(x1)=f(x2)と定めるとき、

  つぎの問いに答えよ。

(1)  ~はX上の同値関係であることを証明せよ。

例.   集合Xとxの任意の2つの元の間にある関係(~ )が定まっているとする。

   この関係~について次の3つの

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1. 集合 X の2つの部分集合族{Aλ:λ∈N},{Bμ:μ∈M}について
(∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M})
=∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}を証明せよ。
 <x,y> ∈(∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M}) ⇔
 
 x∈∩{Aλ:λ∈Λ} かつ y ∈∩{Bμ:μ∈Μ} ⇔
 ∀λ∈Λ に対してx∈Aλ かつ ∀μ∈Μ に対して y ∈Bμ ⇔
 ∀λ∈Λ ∀μ∈Μ ( x∈Aλ andy ∈Bμ ) ⇔
 ∀<λ,μ> ∈ Λ×Μ ( (x,y) ∈Aλ×Bμ ) ⇔
<x,y> ∈ ∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}
  ∴   (∩{Aλ:λ∈N})×(∩{Bμ:μ∈M})
     =∩{Aλ×Bμ:〈λ,μ〉∈Λ×M}
2. fを集合XからYへの全射とする。
 
Xの任意の2つの元x1,x2についてX1~X2をf(x1)=f(x2)と定めるとき、
  つぎの問いに答えよ。
(1)  ~はX上の同値関係であることを証明せよ。
例.   集合Xとxの任意の2つの元の間にある関係(~ )が定まっているとする。
   この関係~について次の3つの...

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2010/05/26 6:43 (14年9ヶ月前)

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