資料紹介

明星大学　通信教育課程「PF2010 代数学1 1単位目+2単位目 2020年度」の合格レポートとなります。
なかなか合格できない方々に参考にして頂ければと思います。

1単位目に関しては、特に赤字で直されることなく合格しております。


1単位目
１．G を群とする。任意の x,y ∈G に対して 〖(xy)〗^2=x^2 y^2 が成り立つならば、G は可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
２. G=R{-1} とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。
(1) 集合G はこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、a,b∈Gならa*b∈Gとなることを示せ。
(2) (G,*)は群になることを示せ。
(3) 3*x*2 5 を満たすx∈G を求めよ。
3. 正三角形の二面体群D_6の自明でない部分群をすべて求めよ。

2単位目
１．σ=~~は偶置換か奇置換かを調べよ。
２．二面体群D_10 の共役類を求めよ。
３. 整数nに対して、 φ(n) =i^nと定める。ただし、iは虚数単位。
(1) は加法群Z から乗法群C への準同型写像であることを示せ。
(2) の像と核を求めよ。
(3) に準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。

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1 単位目
１．G を群とする。任意の 𝑥, 𝑦 ∈G に対して (𝑥𝑦)
2 = 𝑥
2𝑦
2 が成り立つならば、G は可換
群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
２. G = R{−1} とし、演算𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏を考える。ただし、右辺は実数における普通の
和と積である。
(1) 集合 G はこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、𝑎, 𝑏∈G なら𝑎 ∗ 𝑏∈G となるこ
とを示せ。
(2) (G,∗)は群になることを示せ。
(3) 3 ∗ 𝑥 ∗ 2 5 を満たす𝑥 ∈ G を求めよ。
3. 正三角形の二面体群D6の自明でない部分群をすべて求めよ。
2 単位目
１．σ = (
1 2 3 4 5 6 7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 7 6
)は偶置換か奇置換かを調べよ。
２．二面体群𝐷10 の共役類を求めよ。
３. 整数 n に対して、 φ(n) = 𝑖
𝑛と定める。ただし、i は虚数単位。
(1) は加法群 Z から乗法群 C への準同型写像であることを示せ。
(2) の像と核を求めよ。
(3) に準同型定理を適...

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